MAKALAH RISET OPERASI
PROGRAM LINEAR
MIRA ZAKIA
18314169
18314169
2TA02
DOSEN : DODDY ARI SURYANTO
FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
JURUSAN TEKNIK SIPIL
UNIVERSITAS GUNADARMA
KATA PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang, Kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ilmiah tentang limbah dan manfaatnya untuk masyarakat.
Makalah ilmiah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini.
Terlepas dari semua itu, Kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ilmiah ini.
Akhir kata kami berharap semoga makalah ilmiah tentang limbah dan manfaatnya untuk masyarakan ini dapat memberikan manfaat maupun inpirasi terhadap pembaca.
Makalah ilmiah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini.
Terlepas dari semua itu, Kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ilmiah ini.
Akhir kata kami berharap semoga makalah ilmiah tentang limbah dan manfaatnya untuk masyarakan ini dapat memberikan manfaat maupun inpirasi terhadap pembaca.
Depok, 15 Maret 2018
Mira Zakia
Mira Zakia
Daftar Isi
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Rumusan Masalah………………………………………………………...
1.3 Tujuan Penulisan………………………………………………………….
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Landasan Teori
2.2
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Penegertian Program Linear
3.2 Sejarah Program Linear
3.3 Bentuk Umum Program Linear
3.4 Metode Al Jabar dalam Program Linear
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan
4.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sebuah perusahaan atau organisasi perlu merencanakan strategi yang dapat mengoptimalkan hasil yang ingin dicapai, baik itu berupa keuntungan maksimal atau biaya minimal. Pada dasarnya setiap perusahaan memiliki keterbatasan atas sumber dayanya, baik keterbatasan dalam jumlah bahan baku, mesin dan peralatan, ruang, tenaga, kerja, maupun model. Dengan keterbatasan ini, setiap perusahaan melakukan beberapa cara untuk melakukan optimasi dengan hasil yang dicapai, salah satunya dengan program linear (Linear Programming).
Program linear (Linear Programming) merupakan salah satu teknik Riset Operasi yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. Program Linear merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan. Menggunakan model matematis untuk menjelaskan persoalan yang dihadapinya. Sifat linier disini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi yang linier sedangkan kata “program” merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian, program linier adalah perencanaan aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik diantara seluruh alternatif yang fisibel.
Program linier merupakan metode matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linier banyak diterapkan dalam masalah ekonomi industri, militer, sosial dan lain-lain. Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu metode matematika.
1.2Rumusan Masalah
1. Apa pengertian Program Linear?
2. Bagaimana sejarah Program Linear?
3. Bagaimana bentuk umum Program Linear?
4. Bagaimana metode Aljabar dalam Program Linear?
1.3Tujuan Penulisan
1. Mengetahui pengertian Program Linear
2. Mengetahui sejarah Program Linear
3. Mengetahui bentuk umum Program Linear
4. Mengetahui cara penyelesaian Program Linear dengan metode aljabar
BAB II
TINJAUAN TEORITIS
2.1Landasan Teori
Secara harfiah kata operation dapat didefenisikan sebagai tindakan-tindakan yang diterapkan pada beberapa masalah atau hipotesis. Sementara kata riset (research) adalah suata proses yang terorganisasi dalam mencari kebenaran akan masalah atau hipotesis tadi. Kenyataannya, sangat sulit untuk mendefenisikan Operation Research, terutama karena batas-batasnya tidak jelas. Operation Reseach memiliki bermacam-macam penjelasan, berikut ini beberapa kutipan defenisi operation research yang dikemukan oleh para ahli operation research dalam berbagai literature.
Riset Operasi adalah suatu aplikasi dari berbagai metoda ilmiah untuk tujuan penguraian terhadap masala-masalah yang kompleks yang muncul dalam pengarahan dan pengelolaan dari suatu sistem besar (manusia, mesin-mesin, bahan-bahan, dan uang) dalam bidang perindustrian, bisnis, pemerintahan, dan pertahanan.
Menurut Miller dan M.K. Star, riset operasi adalah peralatan manajemen yang menyatukan ilmu pengetahuan, matematika, dan logika dalam rangka memecahkan masalah yang dihadapi sehari-hari sehingga dapat dipecahkan secara optimal. Penerapan Riset Operasi terdiri dari banyak bidang, diantaranya akuntansi, pemasaran dan operasi produksi. Biasanya dalam bidang tersebut, riset operasi digunakan untuk penentuan kombinasi produk terbaik, alokasi model investasi maupun meminimumkan persediaan atau inventori. Dalam riset operasi digunakan model-model, diantaranya model ikonik, model analog, model simbolik dan model matematik. Langkah analisis dalam riset operasi adalah sebagai berikut:
1. Definisi Masalah
Ada 3 unsur utama yang harus diidentifikasi, yaitu :
a.Fungsi Tujuan : Penetapan tujuan untuk membantu mengarahkan upaya memenuhi tujuan yang akan dicapai.
b.Fungsi Batasan/Kendala : Batasan yang mempengaruhi persoalan terhadap tujuan yang akan dicapai.
c.Variabel Keputusan : Variabel yang mempengaruhi persoalan dalam pengambilan keputusan.
2. Pengembangan Model
Mengumpulkan data untuk menaksir besaran parameter yang berpengaruh terhadap persoalan yang dihadapi. Taksiran ini digunakan untuk membangun dan mengevaluasi model matematis dari persoalannya.
3. Pemecahan Model
Dalam memformulasikan persoalan ini biasanya digunakan model analitis yaitu model matematis yang menghasilkan persamaan, sehingga dicapai pemecahan yang optimum.
4. Pengujian Keabsahan Model
Menentukan apakah model yang dibangun telah menggambarkan keadaan nyata secara akurat. Jika belum, perbaiki atau buat model yang baru.
5. Implementasi Hasil Akhir
Menerjemahkan hasil studi atau perhitungan ke dalam bahasa sehari-hari agar mudah dimengerti.
BAB III
PEMBAHASAN
Ada dua faktor lainnya yang turut berkontribusi dalam pengembangan riset operasional. Pertama adalah kemajuan mendasar yang dibuat di awal dalam pengembangan teknik yang ada terhadap riset operasional. Setelah perang, banyak ilmuwan yang berpartisipasi dalam tim riset operasional atau yang mendengarkan keberhasilan tim termotivasi untuk melanjutkan penelitian relevan terhadap suatu bidang, yang menunjukkan pengembangan penting dari sudut seni yang dihasilkan. Salah satu contoh paling penting adalah ditemukannya metode simpleks untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman linear oleh George Dantzig tahun 1947. Banyak teknik riset operasional, seperti pemrograman linear, pemrograman dinamis, teori antrian dan teori inventori telah dikembangkan dengan baik di akhir tahuan 1950-an.
Faktor kedua adalah perkembangan teknologi komputer. Perhitungan kompleks sering harus dilakukan untuk permasalahan kompleks. Jika dilakukan dengan tangan (secara manual) sering menjadi masalah dan bahkan sering tidak mungkin dilakukan. Pengembangan komputer digital elektronik dengan kemampuan melakukan perhitungan aritmetik tinggi telah memberikan penyelesian yang ribuan atau jutaan kali lebih cepat daripada yang bisa manusia lakukan dengan tangan.
3.1Pengertian Program Linear
Program linier adalah merumuskan masalah dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia kemudian menerjemahkan masalah tersebut dalam bentuk model matematika. Sifat linier mempunyai arti bahwa seluruh fiungsi dalam model ini merupakan fungsi yang linier.
Program linier (linear programming) adalah merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka atau terbatas untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Sumber daya tersebut dapat berupa sumber daya fisik seperti uang, tenaga ahli, material (bahan dan mesin) ataupun bukan fisik.
Pemrograman linier berasal dari kata pemrograman dan linier. Pemrograman disini mempunyai arti kata perencanaan, dan linier ini berarti bahwa fungsi-fungsi yang digunakan merupakan fungsi linier. Secara umum arti dari pemrograman linier adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analisis yang analisis-analisisnya memakai model matematika, dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah kemudian dipilih yang terbaik di antaranya dalam rangka menyusun strategi dan langkah-langkah kebijaksanaan lebih lanjut tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas guna mencapai tujuan dan sasaran yang di inginkan secara optimal.
3.2Sejarah Program Linear
Model program linier dikembangkan dalam tiga tahap, anatara lain pada tahun 1939-1947. Pertama kali dikembangkan oleh Leonid Vitaliyevich Kantorovich, ahli matematika Rusia yang memperoleh Soviet government’s Leinin Prize pada tahun 1965 dan the Order of Lenin pada tahun 1967; kedua, oleh Tjalillng Charles Koopmans, ahli ekonomi dari belanda yang memulai karir intelektualnya sebagai fisikawan yang melontarkan teori Kuantum mekanik; dank e-3, George Bernard Dantzig yang mengembangkan Algoritma Simpleks.
Pada tahun 1930, Kantorovich dihadapkan pada kasus nyata optimisasi sumber-sumber yang tersedia di pabrik. Dia mengembangkan sebuah analisis baru yang nantinya akan dinamakan Pemrograman Linear. Kemudian pada tahun 1939, Kantorovich menulis buku “The Mathematical Method of Production Planning and Organization”, di mana Kantorovich menunjukkan bahwa seluruh masalah ekonomi dapat dilihat sebagai usaha untuk memaksimumkan suatu fungsi terhadap kendala-kendala. Kuliah Kantotovich pada saat menerima hadiah Nobel, 11 desember 1975 adalah Mathematics in Economic Achievements, Difficulties, Perspectives. Di sisi ain, Koopmans sejak awal sudah bergelut dengan matematika ekonomi dan ekonometri. Dia mengembangkan teknik activity analiysis yang sekarang dikenal dengan Pemrograman linear. Namun demikian, juga ada nama-nama lain yang berperan dalam pengembangan model ini, yaitu J. Von Neuman. Bahkan dia mengembangkan “Activity analiysis of production set” sebelum dilanjutkan oleh Koopmans. Pada saat itu, teknik yang mereka kembangkan dikenal dengan istilah “programming of interdependent activities in a linier structure”. Istilah programan linier diusulkan oleh Koopmans ketika mengunjungi Dantzig di RAND Corporation pada tahun 1948. Istilah ini menjadi popular hingga sekarang.
3.2 Bentuk Umum Program Linear
Bentuk umum linear programming adalah sebagai berikut:
Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Sumber daya yang membatasi :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
3.4Cara Penyelesaian Program Linear Dengan Metode Aljabar
Pemecahan persoalan PL dengan metode aljabar adalah pemecahan persoalan dengan cara substitusi antarpersamaan linear pada fungsi pembatas dan fungsi tujuan.
Prinsip yang digunakan ialah mencari seluruh kemungkinan pemecahan dasar feasible (layak), kemudian pilih salah satu yang memberikan nilai objektif optimal, yaitu paling besar (maksimum) atau paling kecil (minimum).
Pemecahan persoalan Program Linear dengan metode aljabar ini dibagi 3 (tiga) kasus, yaitu:
a. Kasus Maksimisasi.
kasus pemecahan persoalan PL yang bertujuan mencari seluruh kemungkinan pemecahan yang memberikan nilai objektif maksimum.
Langkah-langkah penyelesaian
1) Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas menjadi kesamaan dengan menambah slack variabel
2) Merubah fungsi tujuan dengan menambah slack variabel bernilai nol
3) Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi tujuan
Contoh-1 : Perusahaan konveksi “Maju” akan memproduksi baju dan celana, dengan:
Fungsi Tujuan:
Maksimumkan Z = 8 X1 + 6 X2 (dalam Rp 1.000).
Fungsi Pembatas :
• P-Bahan : 4 X1 + 2 X1 ≤ 60
• Penjahitan : 2 X1 + 4 X2 ≤ 48 X1, X2 ≥ 0
b. Kasus Minimasi
Kasus pemecahan masalah program linear yang bertujuan seluruh kemungkinan pemecahan yang memberikan nilai objektif minimum.
Langkah-langkah Penyelesaian
1) Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas menjadi kesamaan dengan mengurangi dengan surplus variabel (S).
2) Merubah fungsi tujuan dengan menambah surplus variabel bernilai nol.
3) Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi tujuan.
CONTOH:
Seorang petani modern menghadapi suatu persoalan sebagai berikut: Setiap sapi peliharaan agar supaya sehat harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit: 27, 21, dan 30 satuan unsur nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan M1 dan M2 diberikan kepada sapi peliharaan tersebut. Satu gram makanan jenis M1 mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu gram makanan jenis M2 mengandung unsur nutrisi jenis A,B, dan C masing-masing 1,1, dan 2 satuan. Harga satu gram M1 dan M2 masing-masing sebesar Rp40.000 dan Rp20.000.- Petani tersebut harus memutuskan apakah membeli satu jenis makanan saja atau kedua-duanya kemudian mencampurnya. Tujuan adalah agar jumlah pengeluaran petani tersebut minimum.
c. Kasus-kasus khusus
Beberapa kasus khusus selain kasus maksimisasi dan minimisasi adalah kasus solusi optimum ganda dan tidak memiliki solusi yang layak.
LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN
1) Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas menjadi kesamaan dengan menambah slack variabel
2) Merubah fungsi tujuan dengan menambah slack variabel bernilai nol
3) Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi tujuan
Contoh :
1) Solusi Optimum Ganda
a) Fungsi Tujuan :
Maksimumkan Z = 4X1 + 4X2
b) Fungsi Pembatas :
X1 + 2X2 ≤ 10
X1 + 6X2 ≤ 36
X1 ≤ 4
X1, X2 ≥ 0
2) Tidak Memiliki Solusi Layak
a) Fungsi Tujuan :
Maksimumkan Z = 5X1 + 3X2
b) Fungsi Pembatas :
4X1 + 2X2 ≤ 8
X1 ≥ 3
X2 ≥ 7
X1, X2 ≥ 0
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Program linear adalah suatu cara matematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengalokasian sumberdaya yang terbatas untuk mencapai optimasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergabung pada sejumlah variabel input. • Yang termasuk dalam komponen model program linear adalah variable keputusan, fungsi tujuan, dan batasan model. Program linier bisa di selesaikan menggunakan metode grafik untuk menentukan persoalan maksimum maupun minimum.
4.2 Saran
Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami materi program linear ini terutama pengaplikasiannya di bidang sosial ekonomi pertanian. Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah ini penulis mengharapkan kritikan atau saran dari pembaca.
DAFTAR PUSTAKA
i
